Sumatorio de Ramanujan
Unos amigos de la Universidad no paran de insistir que la suma de todos los números enteros es igual a $$-1/12$$. Eso parece poco probable desde el punto de visto de la cuenta la vieja, pero no es tan raro.
Supongamos el siguiente razonamiento sacado de Internet [everything2.com]. Llamemos $$s$$ a la siguiente suma:$$! s=1+2+4+8+16+\ldots. $$
Si restamos la unidad,$$! s-1 = 2+4+8+16+\ldots = 2s.$$
Por tanto podemos despejar la incógnita:$$!s=-1.$$
¿Dónde está el truco? Como bien indican en el enlace anterior (incluyendo los comentarios) se encuentra en la aritmética con $$\infty$$. Si $$s$$ es infinito, estamos operando con él como si fuera un número real y eso lleva complicaciones.
Pero esa no es la suma a la que se referían mis colegas. Se referían a la suma de Ramanujan [wikipedia.org]. Ramanujan fue un matemático indio de gran prestigio. Introdujo una forma de asignar un número real a un sumatorio divergente con el fin de estudiar las propiedades del infinito.
Sobre las propiedades de este sumatorio no tengo ni idea, mi formación matemática no da para tanto. Sin embargo, se dice [wikipedia.org] que en sus notas apareció escrito:$$! 1+2+3+\ldots=-\frac{1}{12}, $$
donde en ningún lado aparecía que se tuviera que hacer el sumatorio Ramanujan. Esto pudo causar controversia, pero aplicando el sumatorio que formuló el resultado es completamente consistente.
